Question

如图所示，竖直平面内有一半 径R=0.9m、圆心角为60°的光滑圆弧 轨道PM，圆弧轨道最底端M处平滑 连接一长s=3m的粗糙平台MN，质 量分别为m_A=4kg，m_B=2kg的物块 A，B静置于M点，它们中间夹有长 度不计的轻质弹簧，弹簧与A连结，与B不相连，用细线拉紧A、B使弹簧处于压缩状态．N端有一小球C，用长为L的轻 绳悬吊，对N点刚好无压力．现烧断细线，A恰好能从P端滑出，B与C碰后总是交换速度．A、B、C均可视为质点，g取10m/s²，问：
（1）A刚滑上圆弧时对轨道的压力为多少？
（2）烧断细线前系统的弹性势能为多少？
（3）若B与C只能碰撞2次，B最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不松弛，求B与 平台间动摩擦因数µ的范围及µ取最小值时对应的绳长L．

Answer

（1）A在上滑过程中机械能守恒，求出A的速度，再根据牛顿运动定律求解
（2）由动量守恒和能量守恒求解
（3）因B、C碰后速度交换，B静止，C做圆周运动，绳子不能松弛，一种情况是越过最高点，继续做圆周运动，与B碰撞，B一定离开平台，不符合要求．另一种情况是C做圆周运动不超过圆周，返回后再与B发生碰撞．B刚好能与C发生多次次碰撞根据动能定理求解．
【解析】
（1）A在上滑过程中机械能守恒，有
m=mgR（1-cos60°）
vA=3m/s
根据牛顿运动定律 
N-mAg=mA
N=80N
由牛顿第三定律得，A对圆弧的压力为80N，方向竖直向下．
（2）由动量守恒得：
mAvA=mBvB
由能量守恒得
Ep=mA+mB
得：Ep=54J
（3）因B、C碰后速度交换，B静止，C做圆周运动，绳子不能松弛，一种情况是越过最高点，继续做圆周运动，
与B碰撞，B一定离开平台，不符合要求．另一种情况是C做圆周运动不超过圆周，返回后再与B发生碰撞．               
B刚好能与C发生第一次碰撞
0-mB=-μmBgs
   解得 μ=0.6
   依题意有   μ＜0.6
B与C刚要发生第三次碰撞，则
0-mB=-3μmBgs
  解得  μ=0.2
   依题意有  μ＞0.2
B与C发生两次碰撞后不能从左侧滑出
0-mB=-2μmBgs-mBgR（1-cos60°）
解得 μ=0.225
   依题意有 μ≥0.225
综上所得   0.225≤μ＜0.6                        
取μ=0.225，B与C碰撞后，C的速度最大，要绳不松弛，有：
mB-mB=-μmBgs
vB1=vC
mC=mCgL
解得：L=1.125m
依题意：L≤1.125m
答：（1）A刚滑上圆弧时对轨道的压力为80N
（2）烧断细线前系统的弹性势能是54J
（3）若B与C只能碰撞2次，B最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不松弛，B与平台间动摩擦因数µ的范围是 0.225≤μ＜0.6，
µ取最小值时对应的绳L=1.125m．