Question

如图所示，两根不计电阻的金属导线MN与PQ 放在水平面内，MN是直导线，PQ的PQ₁段是直导线，Q₁Q₂段是弧形导线，Q₂Q₃段是直导线，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行．M、P间接入一个阻值R=0.25Ω的电阻．质量m=1.0kg、不计电阻的金属棒AB能在MN、PQ上无摩擦地滑动，金属棒始终垂直于MN，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．金属棒处于位置（I）时，给金属棒一向右的初速度v₁=4 m/s，同时给一方向水平向右F₁=3N的外力，使金属棒向右做匀减速直线运动；当金属棒运动到位置（Ⅱ）时，外力方向不变，改变大小，使金属棒向右做匀速直线运动2s到达位置（Ⅲ）．已知金属棒在位置（I）时，与MN、Q₁Q₂相接触于a、b两点，a、b的间距L₁=1 m；金属棒在位置（Ⅱ）时，棒与MN、Q₁Q₂相接触于c、d两点；位置（I）到位置（Ⅱ）的距离为7.5m．求：
（1）金属棒向右匀减速运动时的加速度大小；
（2）c、d两点间的距离L₂；
（3）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q．

Answer

（1）金属棒从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中做匀减速运动，加速度不变，方向向左．在位置I时，由E1=BL1v1，I1=、F安1=BI1L1推导出安培力表达式，根据牛顿第二定律求解加速度大小．
（2）由运动学公式求出金属棒在位置（Ⅱ）时的速度v2，金属棒在（I）和（II）之间做匀减速直线运动，加速度大小保持不变，外力F1恒定，则AB棒受到的安培力不变即F安1=F安2，由安培力的表达式求解L2；
（3）金属棒从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，做匀速直线运动，感应电动势大小与位置Ⅱ的感应电动势大小相等，安培力与位置Ⅱ的安培力大小相等，求出两个过程外力做功，根据能量守恒求解热量．
【解析】
（1）金属棒从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中，加速度不变，方向向左，设大小为a，在位置I时，a、b间的感应电动势为E1，感应电流为I1，受到的安培力为F安1，
则E1=BL1v1             
又I1=，F安1=BI1L1，
得 F安1=             
代入解得 F安1=4N
由牛顿第二定律得 F安1-F1=ma
解得 a=1m/s2．
（2）设金属棒在位置（Ⅱ）时，速度为v2，由运动学规律得
  =-2a s1
解得 v2=1m/s．
由于在（Ⅰ）和（Ⅱ）之间做匀减速直线运动，即加速度大小保持不变，外力F1恒定，所以AB棒受到的安培力不变，即F安1=F安2
得  =
解得，L2==2m
（3）金属棒从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，做匀速直线运动，感应电动势大小与位置Ⅱ时的感应电动势大小相等，安培力与位置Ⅱ的安培力大小相等，所以
  F2=F安2=4N
设位置（Ⅱ）和（Ⅲ）之间的距离为s2，则
  s2=v2t=2m
设从位置（Ⅰ）到位置（Ⅱ）的过程中，外力做功为W1，从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，外力做功为W2，则
  W1=F1s1=22.5J
  W2=F2s2=8J
根据能量守恒得  W1+W2+=+Q
解得，Q=38J
答：
（1）金属棒向右匀减速运动时的加速度大小是1m/s2；
（2）c、d两点间的距离L2是2m．
（3）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q是38J．