Question

如图所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S₁、S₂，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U，周期为T．在t=0时刻将一个质量为m电量为-q（q＞0）的粒子由S₁静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在时刻通过S₂垂直于边界进入右侧磁场区．（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）
（1）求粒子到达S₂时的速度大小v和极板间距d；
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．

Answer

（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，电场力做功等于粒子动能的增加；
（2）使粒子不与极板相撞，则运动的半径大于；
（3）粒子在t=3T时刻再次到达S2，且速度恰好为零，则从s1再次进入电场时的时刻是，粒子在左右磁场中的时间是相等的，故从右向左穿过电场的中间时刻是，通过与图乙比较，可以知道从右向左穿过电场时，前半段做减速运动，后半段做加速运动，前后对称；要求该过程中粒子在磁场内运动的时间，就要求出粒子从右向左穿过电场的时间．
【解析】
（1）粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：

代入数据，得：
又：，
联立以上两式，得：
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：，
得：
使粒子不与极板相撞，则运动的半径
联立以上两式，得：
（3）粒子在t=3T时刻再次到达S2，且速度恰好为零，则从s1再次进入电场时的时刻是；粒子在左右磁场中的时间是相等的，故从右向左穿过电场的中间时刻是，通过与图乙比较，可以知道从右向左穿过电场时，前半段做减速运动，后半段做加速运动，前后对称．设粒子减速运动时间t时，位移恰好是，粒子受到的电场力：F=qE
电场强度：，
加速度：，
粒子做减速运动，
联立以上几个公式，解得：
粒子在磁场中运动的总时间：
粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
，vT=2πr
得：．
答：（1）粒子到达S2时的速度和极板间距；
（2）磁感应强度的大小应满足的条件；
（3）粒子在磁场内运动的时间，磁感应强度的．