Question

为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件．
（3）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件．

Answer

（1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度vy与h的关系，根据竖直方向速度vy与水平方向速度vx的夹角之间的关系，可以解得h．
（2）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，结合动能定律列式求解．
（3）现根据第一问中求得到达A的速度，从A到B运用动能定理列方程，从B到环的最高点运用机械能守恒列方程，再根据到达最高点的临界条件，联立方程组求解R．
【解析】
（1）设从抛出点到A点的高度差为h，根据平抛运动的规律有：

解得
且 
代入数据解得h=0.45m  
（2）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，即：

解得R′≥1.65m 
（3）小物体到达A点时的速度：
从A到B，由动能定理：

小物体从B到环最高点机械能守恒：
在最高点有：
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差为0.45m；
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应大于等于1.65m．
（3）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，则竖直圆弧轨道的半径应小于等于0.66m．