Question

如图所示，一质量为m的小球C用轻绳悬挂在O点．小球下方有一质量为2m的平板车B静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高．一质量为m的物块A以大小为v的初速度向左滑上平板车，此时A、C间的距离为d．一段时间后，物块A与小球C发生碰撞，碰撞时两者的速度互换，且碰撞时间极短．已知物块与平板车间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，要使碰后小球能绕O点做完整的圆周运动，轻绳的长度l应满足什么条件？
（2）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，求d和v之间满足的关系和碰后物块与平板车最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物块与平板车未达共同速度，求碰后物块与平板车最后共同的速度v与v和d的关系．

Answer

（1）A碰C前与平板车速度达到相等，由动量守恒定律列出等式，A碰C后，C开始做完整的圆周运动，由机械能守恒定律求解．
（2）A碰C前与平板车速度达到相等，由动能定理列出等式求解．
（3）A碰C前与平板车速度未达到相等，在这个过程中A一直做减速运动，由动能定理列出等式，在A与C碰前、后，对A、B组成的系统由动量守恒定律求解．
【解析】
（1）A碰C前与平板车速度达到相等，由动量守恒定律得
mv=（m+2m）v′
A碰C后，C以速度v′开始做完整的圆周运动，由机械能守恒定律得
mv′2=mg•2l+mv″2
小球经过最高点时，有
mg≤
解得l≤
（2）A碰C前与平板车速度达到相等，设整个过程A的位移是x，
由动能定理得：μmgx=m（-v′2）
将v′=代入解得
x=
满足的条件是d≥
A碰C后，对A、B组成的系统由动量守恒定律得
2mv′=（m+2m）v
解得物块与平板车的共同速度为v=
（3）A碰C前与平板车速度未达到相等，在这个过程中A一直做减速运动，
由动能定理得
μmgd=m（-）
在A与C碰前、后，对A、B组成的系统由动量守恒定律得
mv=mmA+2mvB
2mvB=（m+2m）v
解得物块与平板车的共同速度为
v=（v-） 方向水平向左
相应的条件是d＜
答：（1）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，要使碰后小球能绕O点做完整的圆周运动，轻绳的长度l应满足l≤．
（2）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，d和v之间满足的关系是d≥，碰后物块与平板车最后共同的速度v=．
（3）若A碰C之前物块与平板车未达共同速度，碰后物块与平板车最后共同的速度v=（v-） 方向水平向左，相应的条件是d＜．