Question

如图所示，x0y平面内，y轴左侧有方向竖直向下，电场强度为E=1.0×10⁴N/的匀强电场．在Y轴右侧有一个边界为圆形的匀强磁场区域，圆心O′位于x轴上，半径为r=0.01m，磁场最左边与Y轴相切于O点，磁感应强度为B=0.01T，方向垂直纸面向里．在坐标x_o=0.06m处有垂直于x轴的足够大的荧光屏PQ．一束带正电的粒子从电场中的A点（图中未标出）以垂直于电场的初速度向右运动，穿出电场时恰好通过坐标原点，速度大小为v=2×10⁶m/s，方向与x轴正向成300角斜向下．已知粒子的质量为m=1.0×l0^-2kg，电量为q=1.0×10^-10C，重力不计．
（1）求粒子出发点A的坐标；
（2）若圆形磁场可沿x轴向右移动，圆心O仍在x轴上，由于磁场位置的不同，导致该粒子打在荧光屏上的位置也不同，求粒子打在荧光屏上的位置范围；
（3）若改变磁场半径，磁场最左边仍然与Y轴相切于O点，当磁场半径至少为多大时，粒子就再也不能打到带屏上？

Answer

（1）粒子沿AB方向进入电场后做类平抛运动，将射出电场的速度进行分解，根据沿电场方向上的速度，结合牛顿第二定律求出运动的时间，从而得出类平抛运动的水平位移和竖直位移，即得出射入电场的坐标．
（2）随着磁场向右移动荧光屏光点位置逐渐下移，当v方向与磁场圆形区域相切，此后，粒子将打在荧光屏的同一位置．根据粒子在匀强磁场中的半径公式，结合几何关系求出粒子打在荧光屏上的范围．
（3）当粒子射出磁场时的速度平行于y轴时，将不再打到荧光屏上，有几何关系即可求解．
【解析】
（1）粒子沿AB方向进入电场后做类平抛运动，在O点将v沿x、y方向分解得：
vx=vcos30°=．
vy=vsin30°=1×106m/s
根据牛顿第二定律a==1×1014m/s2．
粒子从射入到0点的时间为：
t==
粒子刚射入电场时A点的坐标分别为：
x=-vxt=-×10-2m
y=vyt=5×10-3m
即粒子出发点A的坐标为（-×10-2m，5×10-3m）
（2）洛仑兹力提供向心力，则qvB=m，解得：R==0.02m=2r
由几何关系可知，粒子射出磁场的位置为C点，轨迹如图所示：
则粒子打在荧光屏最高点到x轴的距离为：l1=（x-2r）tan30°=2.31×10-2m
随着磁场向右移动荧光屏光点位置逐渐下移，当v方向与磁场圆形区域相切，粒子打在荧光屏的最低点，此后，粒子将打在荧光屏的同一位置．
其最低到x轴的距离为：xtan30°=3.46×10-2m
（3）如图所示，当粒子射出磁场时的速度平行于y轴时，将不再打到荧光屏上，OCE0″为菱形，
由几何关系得：
磁场半径至少为r=R=0.02m
答：（1）粒子出发点A的坐标为（-×10-2m，5×10-3m）；
（2）粒子打在荧光屏上的位置范围为[2.31×10-2m，3.46×10-2m]；
（3）当磁场半径至少为0.02m时，粒子就再也不能打到带屏上．