Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．D点位于水桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R，P点到桌面右侧边缘的水平距离为2R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，物块从D点飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）BD间的水平距离．
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点．
（3）m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

Answer

（1）物块由D点做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出到达D点的速度，根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度，进而根据位移-速度公式求出位移；
（2）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
（3）由能量转化及守恒定律即可求出m2释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．
【解析】
（1）设物块由D点以vD做平抛，
落到P点时其竖直速度为 
根据几何关系有：
解得vD=4m/s
根据物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t2，有：
在桌面上过B点后初速v=6m/s，加速度a=-4m/s2
所以BD间位移为 m
（2）设物块到达M点的临界速度为vm，有：

vM==m/s
由机械能守恒定律得：
 = 
解得：
v′M=m/s
因为＜
所以物块不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为EP，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m1时，EP=μm1gsCB
释放m2时
且m1=2m2，
可得：
m2释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf，
则由能量转化及守恒定律得：      
可得Wf=5.6J
答：（1）BD间的水平距离为2.5m；
（2）m2不能否沿圆轨道到达M点；
（3）m2释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功为5.6J．