Question

一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率P=6×10⁵ W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F_f是车重的0.01倍，g取10m/s²，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v₁=1m/s和v₂=10m/s时，列车的瞬时加速度a₁、a₂各是多少；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s²的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．

Answer

（1）以恒定的功率行驶时，当牵引力和阻力大小相等时，列车的速度达到最大值；
（2）发动机的功率不变，根据P=Fv可以求得不同速度时的牵引力的大小，再根据牛顿第二定律F-f=ma可以求得此时机车的加速度的大小；
（3）列车匀速行驶时，发动机的实际功率P′=Fv=fv，由此可以求得发动机的功率的大小；
（4）当列车以恒定的加速度运动时，列车的速度在不断的增大，同时列车的功率也在不断的增大，当功率增加到额定功率时，发动机的牵引力开始减小，此时的速度为匀加速运动的最大的速度，再根据v=at就可以求得运动的时间．
【解析】
（1）列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F=Ff=kmg时列车的加速度为零，速度达最大vm，
则：vm====12 m/s．
（2）当v＜vm时列车加速运动，
当v=v1=1 m/s时，
F1==6×105 N，
据牛顿第二定律得：a1==1.1 m/s2
当v=v2=10 m/s时，F2==6×104 N
据牛顿第二定律得：a2==0.02 m/s2．
（3）当v=36 km/h=10 m/s时，列车匀速运动，
则发动机的实际功率P′=Ffv=5×105 W．
（4）根据牛顿第二定律得牵引力F′=Ff+ma=3×105 N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大．
当功率为额定功率时速度大小为vm′，
即vm′==2 m/s
据vm′=at，
得：t==4 s．
答：（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度是12 m/s；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1m/s时的加速度的大小为1.1 m/s2，当行驶速度为v2=10m/s时加速度的大小为0.02 m/s2；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′为5×105 W；
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间是4s．