Question

如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B两者的质量均为m．A与B之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）．B由离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失．
（l）B与地第一次碰撞后，B上升的最大高度是多少？
（2）B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度是多少？
（3）要使A、B不分离，L至少应为多少？

Answer

（1）两个物体先一起自由下落，然后B与地面碰撞后反弹，B减速上升，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式求出上升的高度；
（2）物体A减速下降，物体B减速上升，当两者速度相等时，根据运动学公式求出时间，并计算出位移，得到B离地的高度；
（3）最终A、B静止与地面上，由于减小的机械能完全转化为内能，对系统运用功能关系列式求解即可．
【解析】
（1）物体A、B一起下落H过程，机械能守恒

解得

对B来说碰撞后以速度v向上作匀减速运动，其加速度aB
由牛顿第二定律，得
mg+kmg=maB
得                
aB=（k+1）g
根据速度位移公式，上升的最大高度为 H1==
即B与地第一次碰撞后，B上升的最大高度是．
（2）对A来说碰撞后的加速度aA
由kmg-mg=maA
得                
aA=（k-1）g方向竖直向上．
当A、B速度相等时，两者相对静止．
设经时间t后，两者速度相等，有
v-aAt=-（v-aBt）
解得

B下端离地面的高度为
=
即B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度为．
（3）由于B与地面碰撞过程无动能损失，如果L足够长，最后A与B都静止．由能的转化与守恒，可得的最小值Lmin．
即
kmg×Lmin=mgH+mg（H+Lmin）
解得
Lmin=
故要使A、B不分离，L至少应为．