Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37．现有一质量为m=1kg的小环穿在滑轨上，以某一初速度从B点开始沿AB向上运动，并恰能通过滑轨最高点．设小环与两段直轨道间的动摩擦因数均为，经过轨道连接
处均无能量损失．（，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，，cot18.5°=3）求：
（1）小球的初速度v；
（2）小球第一次到达圆弧C点时对轨道的压力；
（3）小球最后停在何处．

Answer

从图形中几何关系找出APD的半径为R．
运用动能定理研究小球圆弧的最高点到第一次到轨道上C点求出C点速度．
小球在C点进行受力分析运用牛顿第二定律求解．
【解析】
（1）R=Ltan18.5°+r=2m
（或R+R•cos37°=r+rcos37°+L•sin37°）
解得：R=2m
要使小球过大圆弧的最高点，到达圆弧的最高点的临界速度为0．
运用动能定理研究从B点到圆弧的最高点：

代入数据解得
（2）运用动能定理研究小球圆弧的最高点到第一次到轨道上C点：

小球在C点进行受力分析运用牛顿第二定律得：

代入数据解得FN=7mg=70N
由牛顿第三定律得：对轨道的压力F'N=70N，
（3）由第一问分析可知，小球再次到达B点时还有动能，设小球沿AB向上运动的位移为s
则有：
代入数据解得
小球继续向下运动，到B点时的动能为EKB=EK0-μmgcosθ（L+2s）-μmgL
代入解得EKB=4.6J
因EKB＜2μmgL，故小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点．
由动能定理：Ekc=μmgx
解得：x=0.78m
小球最后停在C点左侧距C点0.78m处．
答：（1）小球的初速度v为2m/s；
（2）小球第一次到达圆弧C点时对轨道的压力是70N；
（3）小球最后停在C点左侧距C点0.78m处．