Question

“神舟”六号飞船完成了预定空间科学和技术试验任务后，返回舱于2005年10月17日4时11分开始从太空向地球表面按预定轨道返回．在离地l0km的高度返回舱打开阻力降落伞减速下降，返回舱在这一过程中所受空气阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k．已知返回舱的总质量M=3000kg，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落．从某时刻起开始计时，返回舱的运动v-t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴于B点的坐标为（ 10，0 ），CD是AD的渐近线，亦是平行于横轴的直线，交纵轴于C点，C点的坐标为（ 0，6 ）．请解决下列问题：（取g=10m/s²）
（1）在初始时刻v=160m/s时，它的加速度多大？
（2）推证空气阻力系数k的表达式并算出其数值；
（3）返回舱在距地高度h=10m时，飞船底部的4个反推力小火箭点火工作，使其速度由6m/s迅速减至1m/s后落在地面上． 若忽略燃料质量的减少对返回舱总质量的影响，并忽略此段速度变化而引起空气阻力的变化，试估算每支小火箭的平均推力（计算结果取两位有效数字）．

Answer

（1）过A点切线的斜率为初始时刻的加速度．
（2）根据牛顿第二定律，列出当速度为160m/s时的表达式Kv2+f-Mg=Ma1．当速度为6m/s时，做匀速运动，列出表达式Kv12+f-Mg=0．联立两方程组解出k．
（3）在距地高度h=10m前，返回舱已处于匀速运动状态，返回舱所受浮力、阻力与重力的合力为0．减速运动的加速度由火箭推力产生，根据匀减速运动求出加速度，再根据牛顿第二定律求出每支小火箭的平均推力．
【解析】
（1）根据速度图象可知，在初始v=160m/s时，过A点切线的斜率即为此时的加速度，设为a1，
        其大小为 a1==m/s2=16m/s2
（2）由图知，返回舱的v-t图的斜率逐渐减小，最后是以v1=6m/s的速度作匀速运动．设返回舱所受空气浮力为f，在t=0时，根据牛顿第二定律则有：
Kv2+f-Mg=Ma1．    ①
速度为 v1=6 m/s 时，返回舱受力平衡，即有：Kv12+f-Mg=0    ②
由①、②两式解得：k=
代入数值得：k=kg/m=1.88 kg/m
（3）由题意知，在距地高度h=10m前，返回舱已处于匀速运动状态，返回舱所受浮力、阻力与重力的合力已持续为0．故返回舱在着地减速期间的加速度实际由4个小火箭的反推力共同产生．设每支小火箭的平均推力为F，反推加速度大小为a2，着地速度为v2，根据牛顿第二定律
4F=M a2     ③
由运动学公式知：v22-v12=-2 a2 h       ④
由③、④两式解得：F==N=1.3×103 N．