Question

在如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里即水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=，在竖直方向存在如图乙所示交替变化的电场（竖直向上为正），电场强度E大小为，空间中有一倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面，斜面上有一质量为m，带电荷量为-q的小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第7s内小球不会离开斜面，重力加速度为g，求：
（1）第2s末小球速度υ₂的大小；
（2）前8s内小球通过的路程L；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件．

Answer

（1）第一秒内，重力和电场力向下，磁场力垂直向上，支持力也是垂直向上，合力等于重力和电场力的平行斜面分力，根据牛顿第二定律求解出加速度，求解出1s末速度，然后做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求解出周期，得到前两秒的运动规律．
（2）2s为一个周期，奇数秒内做匀加速直线运动，偶数秒内做匀速圆周运动；根据初速度为零的匀加速直线运动的第1s、第2s、第3s位移之比为1：3：5，得到奇数秒内的位移；根据匀速圆周运动半径公式得到半径与速度成正比；最后求解总路程．
（3）第19s末小球仍未离开斜面，说明磁场力的垂直分力大于重力和电场力的垂直斜面分力之和．
【解析】
（1）第一秒内小球受到竖直向下的重力mg和电场力qE作用，在斜面上以加速度a做匀加速运动．由牛顿第二定律得：（mg+qE）sinθ=ma       
第一秒末小球的速度：υ1=at1=2gsinθ           
第二秒内电场力反向：且满足qE=mg          
第二秒内小球受到洛伦兹力作用将离开斜面以υ1做半径为R2的匀速圆周运动．
由向心力公式得：qυ1B=m
小球做匀速圆周运动周期：T==1s   
结合题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面恰好做完整的圆周运动，小球运动轨迹如图所示．
小球第2s末的速度：υ2=υ1=at2=2gsinθ            
（2）第3s末小球速度：υ3=a（t1+t3）=4gsinθ
第5s末速度：υ5=a（t1+t3+t5）=6gsinθ
第7s末速度：υ7=a（t1+t3+t5+t7）=8gsinθ
第2s内小球做圆周运动的半径：R2=
第4s内小球做圆周运动的半径：R4=
第6s内小球做圆周运动的半径：R6=
第8s内小球做圆周运动的半径：R8=
第1s内小球做匀加速直线运动的路程：s1═=gsinθ
第2s内小球做匀速圆周运动的路程：s2=2πR2=2gsinθ
0～8s内小球做匀加速直线运动的总路程：L1=s1+3s1+5s1+7s1=16s1=16gsinθ        
0～8s内小球做匀速圆周运动的总路程：L2=s2+s4+s6+s8=s2+2s2+3s2+4s2=10s2=20gsinθ 
前8s内小球通过的路程：L=L1+L2=36gsinθ                                     
（3）第19s末仍在斜面上，则有：υ19=a（t1+t3+t5+t7+t9+t11+t13+t15+t17+t19）=10a=20gsinθ    
且19s末小球所受洛伦兹力Bqυ19、重力mg和电场力qE作用，应满足：
Bqυ19≤（mg+qE）cosθ        
解得：tanθ≤
答：（1）第2s末小球速度υ2的大小为2gsinθ；
（2）前8s内小球通过的路程L为36gsinθ；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件为：tanθ≤．