Question

某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压u_ab的变化图象如图2所示，电压的最大值为U、周期为T，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场．若将一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T后恰能再次从a 孔进入电场加速．现该粒子的质量增加了．（粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力）
（1）若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
（2）现在利用一根长为L的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图1中实线轨迹（圆心为O）上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
（3）若将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？

Answer

（1）求第二次加速后从b孔射出时的动能只需知道加速时所对应的电压，故图2求电压即可．
（2）加入屏蔽管后粒子在屏蔽管中做匀速直线运动，离开屏蔽管后运动轨迹与原来的运动轨迹相似，只是向下平移了l．
（3）从图象可以看出，时间每改变（图象中为1），电压改变为（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个，
设某时刻t，u=U时被加速，此时刻可表示为，静止开始加速的时刻t1为，其中n=12，将n=12代入得，因为，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=，
所以只能取N=25，解得，由于电压的周期为，所以（n=0，1，2，3…）
故粒子由静止开始被加速的时刻（n=0，1，2，…）
故加速时的电压分别，，…，，，
加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 
解得 ．
【解析】
（1）质量为m的粒子在磁场中作匀速圆周运动Bqv=，
则
当粒子的质量增加了m，其周期增加△T=T
根据题图2可知，粒子第一次的加速电压u1=U
经过第二次加速，第2次加速电压u2，如图2
在三角形中，，
所以粒子第二次的加速电压
粒子射出时的动能 Ek2=qu1+qu2
解得
（2）因为磁屏蔽管使粒子匀速运动至以下L处，出管后仍然做圆周运动，可到C点水平射出．磁屏蔽管的位置如图1所示．粒子运动的轨迹如图3．
（3）如图4（用Excel作图）设T=100，U=50，得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象
从图象可以看出，时间每改变（图象中为1），电压改变为（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个，
设某时刻t，u=U时被加速，此时刻可表示为，
静止开始加速的时刻t1为，其中n=12，将n=12代入得，
因为，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=，得N=25．
所以只能取N=25，解得，由于电压的周期为，所以（n=0，1，2，3…）
故粒子由静止开始被加速的时刻（n=0，1，2，…）
故加速时的电压分别，，…，，，
加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 
解得 ．