Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t时，刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U的大小．
（2）求t时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间．

Answer

（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t时刻经极板边缘射入磁场，说明在电场中偏转距离为，根据牛顿第二定律和位移公式求解偏转电压．
（2）t时刻进入两板间的带电粒子，两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动，求出粒子的初速度．在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解半径．
（3）2t时刻进入两极板的带电粒子，在电场中偏转角度最小，进入磁场时速度与y轴的夹角最小，在磁场中做圆周运动时轨迹的圆心角最小，在磁场中运动时间最短．用同样的方法分析得到，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长．求出圆周运动的周期，根据轨迹的圆心角求出时间范围．
【解析】
（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，则有    
   Eq=ma    
   =at2
联立解得，两极板间偏转电压为．
（2）t时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v=
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有
联立解得，
（3）2t时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为vy=at，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则

联立解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为    ．
带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得
   ．
同理，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长为：
所以，带电粒子在磁场中的运动时间：．
答：
（1）电压U的大小为．
（2）t时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间为．