Question

某个星球的半径与地球半径相等，质量是地球质量的4倍．在该星球表面有如图所示的半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内，质量为m的小球A，以竖直向下的速度v从与圆心等高处开始沿轨道向下运动，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球恰能分别到达左右两边与圆心等高处．已知地球表面的重力加速度为g．试求：
（1）该星球表面重力加速度g₁；
（2）小球B的质量M；
（3）第一次碰撞刚结束时小球A对轨道的压力大小．

Answer

（1）根据在星球表面万有引力等于重力可解出结果．
（2）根据机械能守恒取出两球碰撞前后速度，然后根据碰撞过程动量守恒列方程求解即可．
（3）在最低根据向心力公式列出方程即可求解．
【解析】
（1）设地球质量为m，半径为r，星球的质量为m1，半径为r1，表面的重力加速度为g1，根据有：
，所以：g1=4g．
故该星球表面重力加速度g1=4g．   
（2）设小球在A在与B球相撞前速度的大小为v1，根据机械能守恒：

得：
由于碰撞后A、B球都恰能达到与圆心等高处，所以第一次碰撞刚结束时小球A、B的速度大小相等，方向相反．设速度大小为v2，根据机械能守恒：

所以有：

设小球B的质量为M，根据动能守恒
mv1=Mv2-mv2
解得：
故小球B的质量为：．
（3）设第一次碰撞结束时小球A对轨道的压力大小为FN，轨道对小球A的支持力为
根据牛顿第三定律有：
根据牛顿第二定律：
解得：
故第一次碰撞刚结束时小球A对轨道的压力大小为12mg．