Question

有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动．现取以下简化模型进行定量研究．
如图所示，电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置，相距为d，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连．设两板之间只有一个质量为m的导电小球，小球可视为质点．已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α＜1）．不计带电小球对极板间匀强电场的影响．重力加速度为g．
（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少应大于多少？
（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T内小球做了很多次往返运动．求在T时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量．

Answer

（1）由题意可知，电容器两板间的电压等于电源电动势，由题意可知电场力与重力间的关系，再由电容器的电容公式可求得电量的表达式，即可求得电动势；
（2）小球与极板碰后均做匀变速直线运动，则动力学公式可分别求得小球与上下极板各碰一次之后的运动时间，则可求得小球往返一次所用的时间；即可求得Ts内往返的次数；
因小球与极板每碰一次，都会有q的电量通过电源，则可求得总电量．
【解析】
（1）用Q表示极板电荷量的大小，q表示碰后小球电荷量的大小．要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则
q＞mg
其中  q=αQ
又有Q=Cε
由以上三式有  ε＞；
电动势至少为；
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动．以a1表示其加速度，t1表示从A板到B板所用的时间，则有
q+mg=ma1
d=a1t12
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2表示其加速度，t2表示从B板到A板所用的时间，则有
q-mg=ma2
d=a2t22
小球往返一次共用时间为（t1+t2），故小球在T时间内往返的次数
n=
由以上关系式得n=
小球往返一次通过的电量为2q，
在T时间内通过电源的总电量Q'=2qn
由以上两式可得
Q'=；
往返次数为，T内通过电源的总电量为．