Question

如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m₁的小物体自A处由静止释放，m₁沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m₂的静止的物体相碰．
（1）如果m₂与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m₁滑到水平轨道后与m₂发生碰撞但不粘连，碰撞后m₁与m₂一起将弹簧压缩后被弹回，m₁与m₂重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m₁=m₂，求m₁反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m₂相连的弹簧及固定装置P，m₁仍从A处由静止释放．
a．若m₁=m₂，且m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m₁能达到的最大高度．
b．若m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，求 m₂与 m₁的比值范围．

Answer

（1）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
（2）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
【解析】
（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
                  ①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
联立①②解得：         
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h

解得   
故m1反弹后能达到的最大高度为：．
（2）撤去弹簧及固定装置后．
a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
          ③
          ④
代入，联系③④可得：，负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：

将带入上式，可得：        
故碰撞后m1能达到的最大高度为：．     
b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有

解得：，
要能发生第二次碰撞的条件是，即m1＜m2；且||＞，即|m1-m2|＞2m1，可得
m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以大小为||=的速度与速度为的m2发生第二次碰撞，有：

=
第二次碰后m1和 m2的速度
     ⑥
       ⑦
不发生第三次碰撞的条件为：||≤
则：-4m1（m2-m1）≤≤4m1（m2-m1）
解不等式
得：            ⑧
解不等式：
得    m2≥3m1  或m2≤-m1  ⑨（9）
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：
故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：．