Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上有直角坐标系xoy，将半径为R=0.4m，内径很小、内壁光滑、管壁极薄的圆弧形绝缘管AB水平固定在第二象限内，它的A端和圆心O′都在y轴上，B端在x轴上，O′B与y轴负方向夹角θ=60°．在坐标系的第一、四象限不同区域内存在着四个垂直于水平面的匀强磁场，a、b、c为磁场的理想分界线，它们的直线方程分别为a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所围的区域Ⅰ和b、c所围的区域Ⅱ内的磁感应强度分别为B₁、B₂，第一、四象限其它区域内磁感应强度均为B．当一质量m=1.2×10^-5kg、电荷量q=1.0×10^-6C，直径略小于绝缘管内径的带正电小球，自绝缘管A端以v=2.0×10^-2 m/s的速度垂直y轴射入管中，在以后的运动过程中，小球能垂直通过c、a，并又能以垂直于y轴的速度进入绝缘管而做周期性运动．求：
（1）B的大小和方向；
（2）B₁、B₂的大小和方向；．
（3）在运动的一个周期内，小球在经过第一、四    象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外运动的时间之比．

Answer

（1）粒子在第一象限内做圆周运动，则由牛顿第二定律可求得磁感应强度，由左手定则可知磁场的方向；
（2）由题意可知，要使粒子能垂直ca且能周期性运动，则区域IⅠ、Ⅱ内小球运动的半径应相等，区域Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度应等大反向，由几何关系可得出粒子的半径，由牛顿第二定律可求得磁感应强度；
（3）粒子在运动中速度大小不变，则由s=vt可求得各段中所需要的时间，即可求出比值．
【解析】
（1）小球在第一象限过a做半径为R的匀速圆周运动
由牛顿第二定律有：
解得：①
代入数据得：B=0.6T         
由左手定则知B方向垂直水平面向下．
（2）要使小球不停的做周期性运动，则区域Ⅰ、Ⅱ内小球运动的半径应相等，区域Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度应等大反向，B2的方向为垂直水平面向下，B1的方向为垂直水平面向上                   
小球做周期性运动的径迹如图甲．
设在区域Ⅱ、Ⅰ内小球的圆心为O1、O2，小球圆周运动的半径为r，偏转角为φ，如图乙所示．
由几何知识知：2rsinφ=O′D②
R+r-DG=2rcosφ-r③
④
解②③④得⑤
⑥
解④⑤得   
则有：
（3）由知：
小球在第4象限过c以前做匀速圆周运动时间为⑦
小球在区域Ⅰ、区域Ⅱ做匀速圆周运动时间共为⑧
小球在第1象限区域Ⅰ以上做匀速圆周运动时间为  ⑨
设在运动的一个周期内，小球在通过第一、四象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外时间之比为k则  ⑩
解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得．