Question

如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为m_A，B球的质量为m_B，杆长为L．则：
（1）A球着地时的速度为多大？
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）若m_A=m_B，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？

Answer

（1）A球着地时，B球的速度为0，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式即可求解；
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，对B球受力分析即可求解；
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，根据动能定理列式，而vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，联立方程求出vB的表达式，再利用数学知识求解最小值，即可求解．
【解析】
（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得mAgL=mAv2，解得  v=
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得   N=mBg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则
mAgL（1-cosθ）=mA+mB
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 vAcosθ=vBsinθ
联立解得  vB= 
令y=（1-cosθ）cos2θ，当y的导数y´=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即
sinθcos2θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=
答：（1）A球着地时的速度为；
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为mBg；
（3）若mA=mB，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为．