Question

如图所示，在x-o-y坐标系中，以（r，0）为圆心，r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．在y＞r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为r．已知质子的电荷量为q，质量为m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响．
（1）求质子射入磁场时速度的大小；
（2）若质子沿x轴正方向射入磁场，求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间；
（3）若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间．

Answer

（1）质子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）找出运动轨迹，然后求解出时间；
（3）结合作图，找出运动轨迹，然后求解出时间．
【解析】
（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，有：
得：
即质子射入磁场时速度的大小为．
（2）质子沿x轴正向射入磁场后，在磁场中运动了个圆周后，以速度υ逆着电场方向进入电场，原路径返回后，再射入磁场，在磁场中运动了个圆周后离开磁场．
在磁场中运动周期：
质子在磁场中运动的时间：
进入电场后做匀变速直线运动，加速度大小：
质子在电场中运动的时间：
所求时间为：t=t1+t2=+
故质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间为+．
（3）当质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从第一象限射入磁场时，设质子将从A点射出磁场，如图所示，其中O1、O2分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心．由于轨迹圆的半径等于磁场区域圆的半径，所以OO1AO2为菱形，即AO2平行x轴，说明质子以平行y轴的速度离开磁场，也以沿y轴负方向的速度再次进入磁场．∠O2=90°-θ．
所以，质子第一次在磁场中运动的时间
t1′=
此后质子轨迹圆的半径依然等于磁场区域圆的半径，设质子将从C点再次射出磁场．如图所示，其中O1、O3分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心，AO3平行x轴．由于O1AO3C为菱形，即CO1平行AO3，即平行x轴，说明C就是磁场区域圆与x轴的交点．这个结论与θ无关．
所以，OO2O3C为平行四边形，∠O3=90°+θ
质子第二次在磁场中运动的时间：t2′=
质子在磁场中运动的总时间：t′=t1′+t2′=
故质子在磁场中运动的总时间为．
答：（1）求质子射入磁场时速度的大小为
（2）若质子沿x轴正方向射入磁场，求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间为+．
（3）若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间为．