Question

如图所示，一块长为L、质量m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送．斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角θ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数．已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部．将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止．
（1）将木板静止放在x=L/2的位置，则木板释放瞬间加速度多大？
（2）设传送带与木板间产生的滑动摩擦力为f，试在0≤x≤L范围内，画出f-x图象．（本小题仅根据图象给分）
（3）木板从x=L/2的位置静止释放，始终在滑动摩擦力的作用下，移动到x=L的位置时，木板的速度多大？
（4）在（3）的过程中，木块的机械能增加量设为△E，传送带消耗的电能设为W，不计电路中产生的电热，比较△E和W的大小关系，用文字说明理由．

Answer

（1）当x=时，木板能保持静止．木块受静摩擦力与重力沿斜面方向的分力平衡，木板静止放在x=的位置，静摩擦力大小与放在传送带上的长度成正比，则摩擦力加倍，根据牛顿第二定律求出木板释放瞬间的加速度．
（2）在0≤x≤L范围内，摩擦力与放在传送带上的长度成正比，当当x=时，f=mgsinθ，当x=L时，则摩擦力为f=4mgsinθ．
（3）摩擦力f与位移x图线与x轴所围成的面积表示摩擦力所做的功，求出木板从x=L/2的位置静止释放，移动到x=L的位置过程中摩擦力所做的功，根据动能定理求出木板的速度．
（4）在（3）的过程中，传送带消耗的电能一部分转化为木块的机械能，还有一部分转化为相对滑动产生的内能．
【解析】
（1）x=时，f1=mgsinθ
    x=时，摩擦力加倍，f2=2mgsinθ
由牛顿运动定律得
（2）在0≤x≤L范围内，摩擦力与放在传送带上的长度成正比，当当x=时，f=mgsinθ，当x=L时，则摩擦力为
f=4mgsinθ．如图．
（3）利用（2）中图象，可知摩擦力做功：
由动能定理
得v=
（注：由于摩擦力与位移成线性关系，所以使用“平均摩擦力“位移”的计算方式也对．）
（4）△E小于W，因为传送带与木板之间有滑动摩擦，电能有一部分转为了内能．