Question

如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45m的1/4圆弧面．A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块P₁和P₂的质量均为m．滑板的质量M=4m，P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，P₂静止在粗糙面的B点，P₁以v=4.0m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在粗糙面B点上．当P₂滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P₂继续运动，到达D点时速度为零．P₁与P₂视为质点，取g=10m/s²．问：
（1）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？
（2）BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为多少？

Answer

（1）由机械能守恒可求得p1与P2碰前的速度，由动量守恒和机械能守恒可求得碰后两物体的速度；由牛顿第二定律可求得p2的加速度，因p1的运动状态不确定，先假设其静止再进行验证；
（2）由机械能守恒对CD分析可得出P2滑到C点速度；对三个滑板N、P1、及P2在相碰到P2滑到C点这一过程中，由动量守恒可求得滑块及P1的速度；则对整体由功能关系可求得BC长度L；而碰后两物体均要运动，最后静止，由动力学知识可求得两物体的位移，则可求得两物体相距的距离．
【解析】
（1）P1滑到最低点速度为v1，由机械能守恒定律有：解得：v1=5m/s
P1、P2碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为v′1、v′2
则由动量守恒和机械能守恒可得：
mv1=mv′1+mv′2

解得：v′1=0、v′2=5m/s
P2向右滑动时，假设P1保持不动，对P2有：f2=μ2mg=4m（向左）
对P1、M有：f=（m+M）a2

此时对P1有：f1=ma=0.80m＜fm=1.0m，所以假设成立．
故滑块的加速度为0.8m/s2；
（2）P2滑到C点速度为v2′，由
得v′2=3m/s
P1、P2碰撞到P2滑到C点时，设P1、M速度为v，对动量守恒定律：mv2=（m+M）v+mv′2
解得：v=0.40m/s
对P1、P2、M为系统：
代入数值得：L=1.9m
滑板碰后，P1向右滑行距离：
P2向左滑行距离：
所以P1、P2静止后距离：△S=L-S1-S2=0.695m
故最后两物体相距0.695m．