Question

在如图（a）所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知正方形边长为L．一个质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻平行于oc边从o点射入磁场中．
（1）若带电粒子从a点射出磁场，求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小；
（2）若磁场的磁感应强度按如图（b）所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B，要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的最大速度v_m．
（3）若磁场的磁感应强度按如图（b）所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B，假使带电粒子能从oa边界射出磁场，求磁感应强度B变化周期T的最小值；

Answer

（1）带电粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，从a点射出磁场时，运动半周，由牛顿定律和几何关系求解．
（2）由牛顿定律和圆周运动公式求出粒子圆周运动的周期．根据轨迹分析在磁场变化的半个周期内，粒子圆周运动偏转角度，确定磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系，磁感应强度变化的周期T．根据对称性，粒子在磁场变化的一个周期内到达b点，其圆周运动的半径最大，速度最大．由几何知识求出最大的半径，再牛顿定律求出最大的速度．
（3）画出带电粒子恰好能从oa边界射出磁场时的轨迹，分析在磁场变化的半个周期内，根据几何知识确定粒子圆周运动偏转角度，研究磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系求解．
【解析】
（1）若带电粒子从a点射出磁场，则做圆周运动的半径为r=
        带电粒子在磁场中运动的周期T==
        所需时间t==
        又根据qvB=m       得v=
    （2）若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图．
   在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为90°，
       即
   则磁场变化的周期为T=
   由几何关系知圆弧半径为r=
   又由qvmB=m
        得vm=
（3）要使粒子从oa边射出，其临界状态轨迹如图所示
   则有sinα=，α=30°
   在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，
   运动时间t==
     而又t=
   故磁场变化的最小周期为T=
答：（1）若带电粒子从a点射出磁场，带电粒子在磁场中运动的时间为，初速度大小为．
    （2）磁感应强度变化的周期T为，粒子射入磁场时的最大速度vm为．
    （3）磁感应强度B变化周期T的最小值为．