Question

如图所示，BC为半径等于R=竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，BO与竖直线的夹角为45°；在圆管的末端C连接一光滑水平面，水平面上一质量为M=1.5kg的木块与一轻质弹簧拴接，轻弹簧的另一端固定于竖直墙壁上．现有一质量为m=0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始即受到始终竖直向上的力F=5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失．小球过后与木块发生完全非弹性碰撞（g=10m/s²）．求：
（1）小球在A点水平抛出的初速度v；
（2）小球在圆管运动中对圆管的压力N；
（3）弹簧的最大弹性势能E_P．

Answer

（1）小球从A运动到B为平抛运动，根据平抛运动的规律及几何关系求解初速度；
（2）先求出B点的速度，根据向心力公式求解细管对小球的作用力；
（3）小球与木块发生完全非弹性碰撞，动能损失最大，但动量守恒，求出共同速度，木块（包括小球）压缩弹簧至最短时其动能全部转化为弹簧的弹性势能．
【解析】
（1）小球从A运动到B为平抛运动，有：
rsin45°=vt
在B点，有：tan45°=
解以上两式得：v=2m/s
（2）在B点据平抛运动的速度规律有：m/s
小球在管中的受力分析为三个力：由于重力与外加的力F平衡，故小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，得小球在管中做匀速圆周运动，由圆周运动的规律得细管对小球的作用力N=m=5N
根据牛顿第三定律得小球对细管的压力N′=N=5N
（3）小球与木块发生完全非弹性碰撞，动能损失最大，但动量守恒．设碰撞后的共同速度为v2，则：
mvB=（m+M）v2
代入数据解得：v2=0.5m/s
木块（包括小球）压缩弹簧至最短时其动能全部转化为弹簧的弹性势能，故弹簧的最大弹性势能：EP=（M+m）v22==0.5J
答：（1）小球在A点水平抛出的初速度为2m/s
（2）小球在圆管运动中对圆管的压力为5N；
（3）弹簧的最大弹性势能为0.5J