Question

如图所示，水平放置的平行金属板A和B的间距为d，极板长为2d；金属板右侧用三块挡板MN、NP、PM围成一个等腰直角三角形区域，顶角NMP为直角，MN挡板上的中点处有一个小孔K恰好位于B板的右端，已知水平挡板NP的长度为=2a．由质量为m、带电量为+q的同种粒子组成的粒子束，以速度v从金属板A、B左端沿紧贴板A但不接触板A处射入，不计粒子所受的重力，若在A、B板间加一恒定电压，使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K．求：
（1）所施加的恒定电压的大小；
（2）现允许在挡板围成的三角形区域内，加一垂直纸面的匀强磁场，要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，求所加磁场的方向和磁感应强度的范围．
（3）在第（2）问的前提下，以M为原点，沿MP方向建立x轴，求打到挡板MP上不同位置（用坐标x表示）的粒子在磁场中的运动时间．

Answer

（1）、由题意可分析出带电粒子在两金属板间竖直方向的位移为d，水平方向的位移为2d，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，运用类平抛运动的知识可求出所施加的恒定电压．
（2）、根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由偏转方向和左手定则可得知磁场的方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力公式（），即可求出所加磁场的磁感应强度范围．
（3）、由射入磁场时的速度方向和达到MP时的速度方向确定圆心，由几何关系找出半径R与x的关系式，以及在磁场中运动的偏转角，再通过运动时间、偏转角和周期T的关系（）可求出运动时间．
【解析】

（1）由于带电粒子做类平抛运动，则有：
2d=vt…①
…②
①②联立得：…③
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为vy，则有：
…④

得：…⑤
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内．如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为RM，则由几何关系可知，△NMP与△NQO1相似，则有：

得：…⑥
因此，粒子做圆周运动的半径范围为：
…⑦
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
…⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：…⑨
（3）设粒子打到MP时，坐标为x，设偏转角为α，则由几何关系可得：
（R-a）2+x2=R2，…⑩
对应粒子在磁场中的运动时间为： 而…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：…（12）
经分析（12）式只适用于
当，
答：（1）所施加的恒定电压的大小为
（2）所加磁场的方向为垂直纸面向内，磁感应强度的范围为
（3）、当偏转角，时间为；当，时间为