Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．
已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t时，刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、l、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U的大小．
（2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）何时刻进入两极板的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

Answer

（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动．由题知道x方向位移为l，y方向位移为，运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式求解U．
（2）时刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．根据运动学规律求出y方向分速度与x方向分速度，再合成求出
粒子进入磁场时的速度，则牛顿定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中运动的周期一定，当轨迹的圆心角最小时，在磁场中运动的时间最短．
【解析】
（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t时刻刚好从极板边缘射出，
            则有 y=，x=l
         由①，Eq=ma②，y=③
       联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④．
  （2）时刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
   由题，带电粒子沿x轴方向的分速度大小为    ⑤
   带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为⑥
   带电粒子离开电场时的速度大小为⑦
   设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，
   则有⑧，联立③⑤⑥⑦⑧式
           解得⑨
   （3）在t=0或2t时刻进入两极板的带电粒子，在电场中做类平抛运动的时间最长，飞出极板时速度方向与磁场边界的夹角最小，而根据轨迹几何知识可知，轨迹的圆心角等于粒子射入磁场时速度方向与边界夹角的2倍，所以在t=0或2t时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．
   带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为vy′=at⑩，
   设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则，
   联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，
   所求最短时间为，
   带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得．