Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，两平行轨道中够长．已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小．
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R₂上的电功率P₂．
（3）当导体棒进入磁场II时，施加一竖直向上的恒定外力F=mg的作用，求导体棒ab从开始进入磁场II到停止运动所通过的距离和电阻R₂上所产生的热量．

Answer

导体棒在重力作用下切割磁感线，从而产生感应电动势，闭合电路出现感应电流，导致棒受到安培力．由速度可求出此时的安培力大小，再由牛顿第二定律可算出加速度．当电流大小不变时，则此时棒做匀速直线运动，所以由受力平衡可算出棒的速度，再根据运动学公式可求出距离h．而R2上的电功率与R1上的电功率之和正好等于棒下落过程中的重力功率．
【解析】
（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得
mg-BIL=ma，式中

由以上各式可得到：
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即mg=BI×2r
 ，
公式中：
解得：
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有

得：
此时导体棒重力的功率为

根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即
 P电=P1+P2=PG
 所以
（3）由动量定理得：
即：
即：
联立，解得：
停下来的过程中，重力做正功，外力和安培力做负功，由动能定理得：

所以产生的总热量为：

在电阻上产生的热量为：
答：（1）导体棒ab从A下落r/2时的加速度；（2 ），；（3）停止运动所通过的距离 ，在电阻上产生的热量为  ．