Question

过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R₁=2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和．一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿轨道向右运动，经过A点时的速度大小为v=12m/s．已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，水平轨道与圆弧轨道平滑连接． g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．试求：
（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（3）物块能够通过几个圆轨道？

Answer

（1）物块在第一轨道运动的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物块经过第一轨道最高点的速度大小．
（2）对A到B运用动能定理，求出到达B点时的速度，在B点重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出物体对轨道的压力大小．
（3）设物块能够通过n个圆轨道，对全过程运用动能定理，求出第n个轨道的半径，抓住小球经过第n个圆轨道时，在最高点有临界值，即，运用数学知识求出n的范围．
【解析】
（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有

即有
故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s．
（2）设物块经B点时的速度为vB，从A到B的过程由动能定理，

对物块经B点受力分析，由向心力公式有 

联立两式解得
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．
故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．
（3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为vn，有
对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得
又因为  Rn=kn-1R1=0.8n-1R1
由以上三式可整理得v2-2μg[（R1+R2+…+Rn-1）+（R2+R3+…+Rn）]≥5gRn
即
将v=12m/s，μ=0.5，R1=2m，k=0.8，g=10m/s2代入上式，整理得0.8n-1≥0.45，
即有，解得  n≤4.6
故物块共可以通过4个圆轨道．