Question

如图，在区域Ⅰ（0≤x≤d）和区域Ⅱ（d＜x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的1/3，不计重力和两粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；
（2）当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差．

Answer

（1）根据洛伦兹力提供向心力，运用几何关系求出粒子的轨道半径，结合牛顿第二定律求出粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小．
（2）通过洛伦兹力提供向心力，得出a粒子在区域Ⅱ中的轨道半径是区域Ⅰ中的一半，结合几何关系得出a粒子离开区域Ⅱ时，a粒子的纵坐标．根据时间关系通过几何关系求出当a离开区域Ⅱ时，b粒子的纵坐标，从而得出a、b两粒子的y坐标之差．
【解析】
（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P'，如图
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 ①
由几何关系得∠PCP′=θ ②，③，式中 θ=30°
由①②③式得 ④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra1，射出点为Pa（图中未画出轨迹），∠P′OaPa=θ′．
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 ⑤
由①⑤式得 ⑥
C、P'和Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于 ⑦的平面上．由对称性知，Pa点与P'点纵坐标相同，
即 y1=Ra1cosθ+h⑧式中，h是C点的y坐标
设b在I中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
⑨
设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α．如果b没有飞出I，则
⑩，
，（11）
式中，t是a在区域II中运动的时间，而
（12）， （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）式得
α=30°（14）
由①③⑨（14）式可见，b没有飞出．Pb点的y坐标为 y2=Rb1（2+cosα）+h
由①③⑧⑨式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为 ．
答：（1）粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小．
（2）当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差为．