Question

光滑的圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平轨道CE连接．水平轨道的CD段光滑、DE段粗糙．一根轻质弹簧一端固定在C处的竖直面上，另一端与质量为2m的物块b刚好在D点接触（不连接），弹簧处于自然长度．将质量为m的物块a从顶端F点静止释放后，沿圆弧轨道下滑．物块a与物块b第一次碰撞后一起向左压缩弹簧．已知圆弧轨道半径为r，=l，物块a、b与DE段水平轨道的动摩擦因数分别为μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度为g．物块a、b均可视为质点．求：
（1）物块a第一次经过E点时的速度是多少？
（2）试讨论l取何值时，a、b能且只能发生一次碰撞？

Answer

（1）根据机械能守恒定律求出物块a第一次经过E点时的速度．
（2）根据动能定理和动量守恒定律求出a、b一起压缩弹簧时的速度，根据物块a到达D点的速度不为零，求出l的范围，以及知道a、b只发生一次碰撞，物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速滑至P点也恰好停止．结合动能定理求出l的范围．
【解析】
（1）物块a由F到E过程中，由机械能守恒有：
解得第一次经过E点时的速度 
（2）物块a从E滑至D过程中，由动能定理有：
解得物块a在D点时的速度 vD1=
物块a、b在D点碰撞，根据动量守恒有：mvD1=3mvD2
解得两物块在D点向左运动的速度
a、b一起压缩弹簧后又返回D点时速度大小
由于物块b的加速度大于物块a的加速度，所以经过D后，a、b两物块分离，同
时也与弹簧分离．
讨论：①假设a在D点时的速度vD1=0，即 l=5r 
要使a、b能够发生碰撞，则l＜5r
②假设物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速
滑至P点也恰好停止，设，则，根据能量守恒，
对a物块     
对b物块     
由以上两式解得 
将代入  
解得  
要使a、b只发生一次碰撞，则
综上所述，当时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．
答：（1）物块a第一次经过E点时的速度是．
（2）当时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．