Question

如图甲所示，在圆形水池正上方，有一半径为r的圆形储水桶．水桶底部有多个水平小孔，小孔喷出的水在水池中的落点离水池中心的距离为R，水桶底部与水池水面之间的高度差是h．为了维持水桶水面的高度不变，用水泵通过细水管将洒落的水重新抽回到高度差为H的水桶上方．水泵由效率为η₁的太阳能电池板供电，电池板与水平面之间的夹角为α，太阳光竖直向下照射（如图乙所示），太阳光垂直照射时单位时间、单位面积接受的能量为E．水泵的效率为η₂，水泵出水口单位时间流出水的质量为m，流出水流的速度大小为v（不计水在细水管和空气中运动时所受的阻力）．
求：
（1）水从小孔喷出时的速度大小；
（2）水泵的输出功率；
（3）为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值S．

Answer

（1）由题意可知水做平抛运动的水平位移及竖直高度，则由平抛运动规律可得出水从小孔中喷出的速度；
（2）由功能关系可求得水泵做的功，由功率公式可求得功率；
（3）由太阳能及水泵在转化中的效率可求得实际需要的太阳能量，则可求得太阳能的电池板面积的最小值．
【解析】
（1）水从小孔喷出时速度沿水平方向，只受重力作用，做平抛运动，设水喷出时的速度大小为v，有
R-r=vt                                                              
h=gt2；                                                              
水喷出的速度v=；                                             
（2）水泵做功，既改变水的势能，又改变水的动能．由功能关系得
Pt=mgh+mv2；  
功率P=．                              
（3）考虑单位时间内的能量转化及利用效率，太阳能电池板接收太阳能的其中一部分转变成电能E1，电能通过水泵将其中的部分转变成水的势能与动能E2，有
E1=η1EScosθ                                                      
E2=η2E1                                                             
E2=mgH+mv2                                                   
解得
最小面积S=；