Question

如图，竖直平面内有一直角坐标系xOy，在x≥0的区域内有一倾角为45°的绝缘光滑斜面，斜面末端O处用一极小的平滑曲面连接，恰能使斜面末端水平．在x≤0的广泛区域内存在正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B；电场沿竖直方向，场强大小为E．电荷量为-q的带电小球从绝缘光滑斜面上某点由静止开始下滑，小球经斜面末端O点进入电场和磁场，之后沿圆周运动，垂直于y轴离开电场和磁场，最后垂直打到斜面上．
求：
（1）小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间．
（2）小球开始下滑的初始位置坐标．

Answer

（1）画出小球运动的轨迹，小球经过三个运动过程：1、由静止开始匀加速运动到斜面末端，由速度公式v=gsin45°t1求出时间的表达式；2、在左侧复合场中做匀速圆周运动，半径为r=，时间t2=；3、y轴离开电场和磁场后做平抛运动，垂直落到斜面时，v=vytan45°=gt3，竖直方向位移为  2r-y2=，y2=x2=vt3，联立解得各段时间，即可求出总时间．
（2）小球初始位置到斜面末端的距离为 l=，由上求得t1，即可求出位置的坐标．
【解析】
（1）小球运动的轨迹如图．初始位置（x1，y1），再次回到斜面的落点位置（x2，y2），小球经时间t1运动到末端的速度为v，则
  t1=  ①
小球在复合场中做匀速圆周运动，则有  mg=qE   ②
轨道半径为  r=  ③
运动时间为 t2= ④
小球离开电磁场后做平抛运动，经时间t3垂直落到斜面时
    v=vytan45°=gt3   ⑤
2r-y2=   ⑥
y2=x2=vt3，⑦
由②③⑤⑥⑦得， ⑧  ⑨
由②④得，t2=  ⑩
由①⑨得，
故小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间为t=t1+t2+t3=（+π）．
（2）小球初始位置到斜面末端的距离为 l==
故  x1=y1=lsin45°=
答：
（1）小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间为（+π）．．
（2）小球开始下滑的初始位置坐标（，）．