Question

如图所示，在空间区域Ⅰ存在垂直纸面向里的磁感应强度为B=10T的匀强磁场，其边界为MN、PQ，其中PQ边界位置可以左右调节．在PQ右边空间区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，E=m/s其范围足够宽．在左边界的A点处有一个质量为m=1.0×10^-12kg、带电量大小为q=1.0×10^-13C的负电粒子，以速度V=3m/s沿着与左边界成60°的方向射入磁场，粒子重力不计，求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径
（2）若带电粒子从边界PQ飞出磁场，进入电场，经过一段时间，运动到电场中的C点，速度刚好减为零．求满足此种运动情况的磁场宽度以及粒子从A点到C点的时间；
（3）调节磁场与电场分界线PQ的位置，使粒子在磁场中运动的时间为t=π秒，恰好到达边界PQ时撤去磁场，同时将电场反向，粒子进入电场，经过一段时间到达D点，此时粒子速度方向与进入磁场时A点处的速度方向垂直，求粒子磁场中做圆周运动的圆心O点到D点的距离S．（结论可保留成根号形式）

Answer

（1）粒子射入磁场中由洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律求解粒子圆周运动的半径；
（2）要使粒子运动到电场中的C点，速度刚好减为零，必须垂直PQ进入电场，画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何知识可求出磁场的宽度．由几何知识确定出粒子在磁场中运动时轨迹的圆心角，即可求出磁场中运动时间；根据牛顿第二定律和运动学公式结合可求出在电场中运动时间，即可求得总时间；
（3）根据t=，确定出粒子在磁场中轨迹对应的圆心角为120°，可知，粒子速度沿PQ边界进入电场，在电场中粒子做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出水平和竖直位移，由几何知识求出的圆心O点到D点的距离S．
【解析】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
   qvB=m
解得 r=3m
（2）粒子飞出边界PQ时速度与PQ垂直，则磁场的宽度为
  d=rsin30°=1.5m 
粒子在磁场中运动的周期为T=
代入解得，T=2π （s）
粒子在磁场中运动时，速度的偏向角为30°，则轨迹对应的圆心也为30°，则粒子在磁场中运动的时间为 t1=T==s
粒子在电场中做匀减速直线运动，加速度为：a=m/s2
由v=at2得，t2==
故粒子从A点到C点的时间为t=t1+t2=s
（3）由题，粒子在磁场中运动的时间为t=π（s）=，故圆心角θ=120°．
所以粒子飞出磁场时，速度沿PQ边界，进入电场后做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速直线运动．
设粒子到达D点时，水平方向分速度大小为vy．
由题，粒子经过D点时速度方向与在A点时的速度方向垂直，由几何知识得：D点的速度与竖直方向的夹角为30°，则有
   tan30°==
解得，t==1s
水平位移为 y==m
竖直位移为 x=vt=3m
根据几何关系得：粒子磁场中做圆周运动的圆心O点到D点的距离S=
代入解得，S=m
答：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为3m；
（2）磁场宽度为1.5m，粒子从A点到C点的时间是s；
（3）粒子磁场中做圆周运动的圆心O点到D点的距离S是S=m．