Question

如图，在xOy坐标中第Ⅰ和第Ⅳ象限中分布着平行于x轴的匀强电场，第Ⅳ象限的长方形OPQH区域内还分布着垂直坐标平面的、大小可以任意调节的匀强磁场．一质子从y轴上的a点射入场区，然后垂直x轴通过b点，最后从y轴上的c点离开场区．已知：质子质量为m、带电量为q，射入场区时的速率为v，通过b点时的速率为，，
（1）在图中标出电场和磁场的方向；
（2）求：电场强度E的大小以及c到坐标原点的距离；
（3）如果撤去电场，质子仍以v从a点垂直y轴射入场区．试讨论质子可以从长方形OPQH区域的哪几条边界射出场区，并求从这几条边界射出时对应磁感应强度B的大小范围和质子转过的圆心角θ的范围．

Answer

（1）质子从a到b洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由于动能减少，电场力做负功，所以电场沿x轴负方向．依题意质子的运动轨迹从a到b，根据曲线运动的条件和左手定则可判断磁场方向垂直纸面向里．
（2）质子从a到b，洛伦兹力不做功，仅电场力做功．由动能定理求解电场强度E．质子从b到c，做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式求解；
（3）质子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得到半径R．再讨论质子将从HQ边射出、从OH边射出、从Oa边射出时半径满足的半径，得到B的大小范围．由几何关系求解圆心角θ的范围．
【解析】
（1）质子从a到b洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由于动能减少，电场力做负功，所以电场沿x轴负方向．依题意质子的运动轨迹从a到b，根据曲线运动的条件和左手定则可判断磁场方向垂直纸面向里．故电场方向指向x轴负方向；磁场方向垂直纸面向里．
（2）质子从a到b，洛伦兹力不做功，仅电场力做功．由动能定理得：
  …①
得：…②
质子从b到c，做类平抛运动，设运动时间为t，
则：…③
…④
联立②、③、④得：…⑤
（3）质子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，设做圆周运动的半径R，则
   …⑥
即：⑦
讨论：
（i）如图，当时，质子将从HQ边射出，此时：，  ⑧
（ii）当时，质子将从OH边射出，此时：，⑨
（iii）当时，质子将从Oa边射出，此时：，θ=π⑩
答：（1）电场方向指向x轴负方向；磁场方向垂直纸面向里．
（2）电场强度E的大小为，c到坐标原点的距离等于；
（3）（i）当时，质子将从HQ边射出，此时：，．
（ii）当时，质子将从OH边射出，此时：，．
（iii）当时，质子将从Oa边射出，此时：，θ=π．