Question

如图所示，一辆质量为M的小车静止在水平面上，车面上右端点有一可视为质点的滑块1，水平面上有与车右端相距为4R的固定的光滑圆弧轨道，其圆周半径为R，圆周E处的切线是竖直的，车上表面与地面平行且与圆弧轨道的末端D等高，在圆弧轨道的最低点D处，有另一个可视为质点的滑块2，两滑块质量均为m．某人由静止开始推车，当车与圆弧轨道的竖直壁CD碰撞后人即撤去推力并离开小车，车碰后靠着竖直壁静止但不粘连，滑块1和滑块2则发生碰撞，碰后两滑块牢牢粘在一起不再分离．车与地面的摩擦不计，滑块1、2与车面的摩擦系数均为μ，重力加速度为g，滑块与车面的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．
（1）若人推车的力是水平方向且大小为，则在人推车的过程中，滑块1与车是否会发生相对运动？
（2）在（1）的条件下，滑块1与滑块2碰前瞬间，滑块1的速度多大？
（3）若车面的长度为，小车质量M=km，则k的取值在什么范围内，两个滑块最终没有滑离车面？

Answer

（1）假设滑块1与车不发生相对滑动，根据牛顿第二定律，分别对整体和滑块1研究，求出滑块受到的静摩擦力大小，与最大静摩擦力比较，判断滑块1与车是否会发生相对运动．
（2）若滑块1与车没有发生相对滑动，对整体，运用动能定理求出滑块1与滑块2碰撞前瞬间滑块1的速度．两滑块碰撞过程，由动量守恒定律求出碰撞后共同的速度．
（3）两滑块粘合在一起后冲上光滑圆弧轨道，由于圆弧轨道的E处的切线是竖直的，则无论两滑块在圆弧轨道上运动，还是从E处竖直向上离开圆弧轨道，最后还是沿着圆弧轨道回到D处，整个过程中两滑块的机械能守恒，两滑块最终以原速率冲上车面．根据动量守恒和能量守恒结合求解两个滑块最终没有滑离车面时的k．
【解析】
（1）设滑块1与车不发生相对滑动，它们的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：
F=（M+m）a…①
此时滑块受到的静摩擦力大小为：f=ma…②
而：…③
由①②③解得：…④
又滑块1与车面的最大静摩擦力为：fm=μmg…⑤
显然f＜fm，说明滑块1与车面之间没有发生相对滑动．
（2）设滑块1与滑块2碰撞前瞬间滑块1的速度为v，根据动能定理有：
…⑥
联立③⑥求得：…⑦
设滑块1和2发生碰撞后的共同速度为v1，由动量守恒定律有：
mv=2mv1 …⑧
联立⑦⑧求得：…⑨
（3）两滑块粘合在一起后以v1的速度冲上光滑圆弧轨道，由于圆弧轨道的E处的切线是竖直的，则无论两滑块在圆弧轨道上运动，还是从E处竖直向上离开圆弧轨道，最后还是沿着圆弧轨道回到D处，整个过程中两滑块的机械能守恒，两滑块最终以速度v1冲上车面．
设两滑块滑到车的左端时，若滑块刚好不滑出车面，滑块和车应有共同的速度设为v2，由系统的动量守恒有：
  2mv1=（2m+km）v2，⑩
由系统的能量守恒，有：…⑪
联立⑨⑩⑪解得：k=2…⑫
所以当k≤2时，两个滑块最终没有滑离小车．
答：
（1）若人推车的力是水平方向且大小为，在人推车的过程中，滑块1与车不会发生相对运动．
（2）在（1）的条件下，滑块1与滑块2碰前瞬间，滑块1的速度是2．
（3）若车面的长度为，小车质量M=km，k的取值在k≤2时，两个滑块最终没有滑离车面．