Question

如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接．通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为，速度为v_o=2.0×10⁴m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）．
（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小．
（2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为α，试写出粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer

（1）当滑动头P在ab正中间时，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，位移大小为L，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学结合可求出粒子进入磁场时的速度大小．
（2）当滑动头P在a端时，平行金属板MN板间电压为零，粒子匀速运动，以速度v进入磁场中，由牛顿第二定律求出轨迹半径．当滑动头P在ab间某一位置时，由牛顿第二定律得到轨迹半径与α的关系式，由几何关系求出粒子在磁场中运动时轨迹圆心角，即可得到粒子在磁场中运动时间的表达式．当板间电压最大时，根据类平抛运动的规律得到粒子射出极板时速度最大的偏转角，即可求出粒子在磁场中运动的最长时间．
【解析】
（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压U′=，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为vy：
    ①
  vy=at      ②
  L=vt      ③
粒子射入磁场时速度的大小设为 ④
联立解得：≈2.1×104m/s  ⑤
（2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v，有
    ⑥
解得：R==0.2m 
设粒子射出极板时速度的大小为v，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为R．根据速度平行四边形可得：
   ⑦
又，得R=  ⑧
由⑥⑦⑧可得： ⑨
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为O′，与x轴交点为D，
设∠O′DO=β，根据几何关系：
    ⑩
又：
解得：sinα=sinβ，得 β=α
粒子在磁场中运动的周期为T：     
粒子在磁场中轨迹对应的圆心角为 θ=
则粒子在磁场中运动的时间：t=T=T，得t=
由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角α越大，则粒子在磁场中运动的时间就越大．假设极板间电压为最大值
时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长．
由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：    
y方向偏距：ym==m＜0.2m，说明粒子可以射出极板．此时粒子速度偏转角最大，设为αm，则
 tanam==，得          
故粒子在磁场中运动的最长时间：，得tm=         
代入数值得：≈2.6×10-5s．  
答：
（1）当滑动头P在ab正中间时，粒子射入磁场时速度的大小是2.1×104m/s．
（2）粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系是，粒子在磁场中运动的最长时间是2.6×10-5s．