Question

如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小为F的恒力，以后两小球发生正碰过程时间很短，不计它们碰撞过程的动能损失．

（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），求满足下列条件的L值
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞．

Answer

（1）A第一次碰前过程根据动能定理列出等式，A与B碰撞，由动量守恒列出等式，再根据能量守恒求解
（2）对质点A运用运动学公式列出各过程的等式，根据满足的条件找出L值
【解析】
（1）A第一次碰前速度设为v
动能定理：
A与B碰撞，动量守恒，
则
根据题意，总能量不损失，
则
联立解得
（2）①对质点A：
第一次碰前：v=at

第一次碰后到第二次碰前过程：
第二次碰前速度 vA1=at1

对质点B：
第一次碰后到第二次碰前过程：sB1=vt1
由于sA1=sB2
解得：t1=2t，vA1=2v，sA1=sB1=4l
则要使质点A、B刚好能够发生两次碰撞，L=l+4l=5l
②质点A、B第二次碰前速度分别为2v、v，碰后速度分别设为v″A和v″B
动量守恒：m•2v+mv=mv″A+mv″B
能量关系：m+m=m+m
解得：v″A=v，v″B=2v
对质点A：
第二次碰后到第三次碰前：vA2=v+at2

对质点B：
第二次碰后到第三次碰前：sB2=2vt2
由于sA2=sB2
解得：t2=2t，vA2=3v，sA2=sB2=8l
综上，质点A、B每次碰撞过程总是要交换速度；每次碰撞间隔时间都为2t；
每次碰撞后的相同时间间隔内，质点A速度增加2v，质点B速度不变
可得：每次碰撞位置间隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
则要使质点A、B刚好能够发生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）l=（2n2-2n+1）l（n=1，2，3…）        
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是．
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞，L=5l；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞L=（2n2-2n+1）l（n=1，2，3…）．