Question

一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω，金属框放在表面是绝缘且光滑的斜面顶端，自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端BB′，设金属框在下滑时即时速度为v，与此对应的位移为s，那么v²-s图象如图2所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上．试问：
（1）分析v²-s图象所提供的信息，计算出斜面倾角θ和匀强磁场宽度d．
（2）匀强磁场的磁感应强度多大？
（3）金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？
（4）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB′静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端．试计算恒力F做功的最小值．

Answer

（1）s=0到s=1.6 m，从图象可知，金属框做匀加速直线运动，根据斜率求出加速度从而求出倾角．金属框从下边进磁场到上边出磁场过程中做匀速直线运动，通过运动的距离，知L=d，等于匀速运动位移的一半．
（2）线圈在磁场中做匀速直线运动，根据受力平衡，求出磁感应强度．
（3）线框先做匀加速运动，再做匀速直线运动，再做匀加速直线运动，根据运动学公式求出三个时间之和．
（4）未入磁场 F-mgsinθ=ma2，进入磁场F=mgsinθ+F安，∴F安=ma2，通过安培力做功求出克服安培力做功产生的热量，在整个过程中重力势能的增加量可以求出，要计算恒力F做功的最小值，只要线框到达最高点的速度为0，此时做功最小．然后根据能量守恒进行求解．
【解析】
（1）s=0到s=1.6 m由公式v2=2as，该段图线斜率k==2a==10，所以a=5m，
     根据牛顿第二定律 mgsinθ=ma，sinθ===0.5，θ=30°，
由图得从线框下边进磁场到上边出磁场均做匀速运动，所以△s=2L=2d=（2.6-1.6）m=1 m，d=L=0.5m．
（2）线框通过磁场时，v12=16，v1=4 m/s，
此时F安=mg sinθ，BL=mg sinθ，B==0.5 T．
（3）t1==s=0.8 s，t2==s=0.25 s，s3=（3.4-2.6）m=0.8 m，s3=v1t3+a t32，t3=0.2 s，
所以t=t1+t2+t3=（0.8+0.25+0.2）s=1.25 s
（4）未入磁场 F-mgsinθ=ma2，进入磁场F=mgsinθ+F安，∴F安=ma2，
BL=m，v==2 m/s，F安==0.25N
在上升过程中产生的热量Q=2dF安，
上升过程中重力势能的增加量为△EP增=mg（s1+s2+s3）sinθ
当到达最高点时速度为0，该过程中做功最小．
由能量守恒得：
  最小功 WF=2dF安+mg（s1+s2+s3）sinθ=+mg（s1+s2+s3）sinθ=1.95 J．
本题答案为：（1）θ=30°，0.5m．（2）0.5 T．（3）1.25 s．（4）1.95 J．