Question

如图所示，质量为M倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为l时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g．
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3）求弹簧的最大伸长量；
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

Answer

（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，三力平衡，根据平衡条件并结合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）简谐运动的回复力满足F=-kx形式；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量；
（4）当滑块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解，然后将最大位移打入即可．
【解析】
（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件，有：
mgsinα=k•△x
解得：
故弹簧的长度为；
（2）物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+△x）=k（x+）；
故合力为：F=mgsinα-k（x+）=-kx；
故物体做简谐运动；
（3）简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为l时将物块由静止开始释放，故其振幅为：
A=；
故其最大伸长量为：A+△x=；
（4）设物块位移x为正，斜面体受重力、支持力、压力、滑动摩擦力、静摩擦力，如图

根据平衡条件，有：
水平方向：f+FN1sinα-Fcosα=0
竖直方向：FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0
又有：F=k（x+△x），FN1=mgcosα
联立可得：f=kxcosα，FN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面体保持静止，结合牛顿第三定律，应该有|f|≤μFN2，所以

当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有：

答：（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度为；
（2）证明如上；
 （3）弹簧的最大伸长量为；
（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足的条件为：．