Question

如图所示，P、Q为水平面内平行放置的金属长直导轨，间距为L₁，处在磁感应强度大小为B₁、方向竖直向下的匀强磁场中．一根质量为M、电阻为r的导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，导体杆ef与P、Q导轨之间的动摩擦因素为μ．在外力作用下导体杆ef向左做匀速直线运动．质量为m、每边电阻均为r、边长为L₂的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，金属框处在磁感应强度大小为B₂、方向垂直框面向里的匀强磁场中，金属框恰好处于静止状态．不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力．求：
（1）通过ab边的电流I_ab；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度v；
（3）外力做功的功率P_外；
（4）t时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功．

Answer

（1）外电路是：ad、dc、cb三边电阻串联后再与ab边电阻并联构成，竖直方向上ab边与cd边所受安培力均向上，根据受力平衡列方程即可求解，注意并联电路中电流与电阻关系．
（2）根据闭合电路欧姆定律求出电源的电动势，根据E=BLv，即可求出导体棒的速度．
（3）根据平衡条件，外力F等于安培力和摩擦力之和，求出F，用P=Fv求解．
（4）摩擦力是恒力，可以直接用功的定义式求解．
【解析】
（1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为Iab，dc边的电流为Idc，有：
Iab=I
Icd=I
金属框受重力和安培力，处于静止状态，有：mg=B2IabL2+B2IdcL2
联立三式解得：Iab=
故通过ab边的电流Iab是：Iab=．
（2）由（1）可得：I=
设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有：E=B1L1v
设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则：R=r
R与ef串联的总电阻R总=r+r=r 
ef由于运动切割磁感线而产生的电动势E=B1L1v
根据闭合电路欧姆定律，有：I=
联立以上各式：=
解得：v=．
故导体杆ef的运动速度v是：．
（3）ef棒在水平方向上受到外力F、安培力、摩擦力，根据平衡条件可知
F=FA+μMg
因为FA=B1IL1=
所以外力F的功率为：
P外=Fv=（FA+μMg）v=+ 
（4）摩擦力为恒力，可以用功的定义式求【解析】

Wf=μMgs=μMgvt=
答：（1）通过ab边的电流Iab为；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度v为；
（3）外力做功的功率为+；
（4）t时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功为．