Question

如图，两条互相平行且足够长的光滑金属导轨位于水平面内，导轨间距l=0.2m，在导轨的
一端接有阻值R=3Ω的电阻，在x≥0处有一垂直水平面向下的匀强磁场，磁感强度B=0.5T．一质
量m=0.1kg，电阻r=2Ω的金属棒垂直搁在导轨上，并以v=20m/s的初速度进入磁场，在水平拉
力F的作用下作持续的匀变速直线运动，加速度大小a=2m/s²、方向与初速度方向相反．棒与导轨
接触良好，其余电阻均不计．求：
（1）第一次电流为零时金属棒所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时拉力F的大小及其功率；
（3）金属棒开始进入磁场到速度减小为零的过程中，电阻R上产生的热量为1.6J，求该过程中拉力F所做的功．

Answer

（1）根据E=BLv，I==，电流与速度成正比，当电流第一次为零时，金属棒的速度为零，根据运动学公式求解位移；
（2）金属棒刚开始运动时，回路中电流最大，根据I=，求出电流为最大值的一半时金属棒的速度，由F=BIL求出安培力大小，根据牛顿第二定律求出拉力F，再求解其功率．速度方向要分向左和向右两种情况研究．
（3）根据动能定理求解拉力做功．回路中产生的焦耳热等于金属棒克服安培力做功．
【解析】
（1）由E=BLv，I==，可知
若I=0，则v=0          
故第一次电流为零时金属棒通过的位移为x==m=100m                     
（2）金属棒刚开始运动时，回路中电流最大，最大电流为 Im=
若I=Im，则速度v==10m/s
则金属棒所受的安培力为 FA=BIL==
可知FA=0.02N              
讨论：①若棒向左运动，有
   F1+FA=ma，
故F1=0.18N，功率P1=F1v=1.8W．
②若棒向右运动，有
  F2-FA=ma，
故F2=0.22N，功率P2=F2v=2.2W．
（3）设金属棒克服安培力做功为WA，拉力做功为WF．
金属棒开始进入磁场到速度减小为零的过程中，电阻R上产生的热量为QR=1.6J，金属棒产生的热量为Qr=QR，则回路中产生的总热量为Q=QR+Qr=QR=J
根据功能关系知，回路中产生的焦耳热等于金属棒克服安培力做功．则得WA=Q=J
由动能定理得：WF-WA=0-
解得，WF≈-17.3J
答：（1）第一次电流为零时金属棒所处的位置距O点100m；
（2）电流为最大值的一半时拉力F的大小为0.18N，其功率为1.8W或0.22N，2.2W．
（3）该过程中拉力F所做的功为-17.3J．