Question

图是一种碰撞装置的俯视图，其左边Q是一个接收器，它的下端装有光滑轨道（图中未画出），左端与固定在墙壁上的轻质弹簧相连；右边P是一固定的发射器，它可根据需要瞄准接收器的接收口，将质量m=0.10kg的珠子以v₁=50m/s的速度沿水平方向射入接收器．已知接收器的质量M=0.40kg，弹簧处于自然长度时，接收器右边缘与直线MN对齐．若接收器右边缘停止在MN线上或向右运动到达MN线时，都有一粒珠子打入接收器，并在极短时间内与接收器具有相同的速度．
（1）求第一粒珠子打入接收器之后，弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），当弹簧的弹性势能达到其能达到最大值的一半时接收器的速度大小；
（2）试分析当第n粒珠子射入接收器中刚与接收器相对静止时，接收器速度的大小；
（3）已知与接收器相连接弹簧的劲度系数k=400N/m，发射器左端与MN线的水平距离s=0.25m，求发射器至少应发射几粒珠子后停止发射，方能使接收器沿直线往复运动而不会碰到发射器．（注：轻质弹簧的弹性势能可按进行计算，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．）

Answer

（1）第一粒珠子打入接收器内刚与接收器相对静止过程系统动量守恒，根据动量守恒定律列式；此后接收器和弹簧机械能守恒，根据守恒定律列式求解即可；
（2）根据动量守恒定律分别求出第一轮珠子、第二粒珠子、…、第n粒珠子打入时的速度，得到规律；
（3）接收器和弹簧系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式；再根据最大位移x小于S；联立求解即可．
【解析】
（1）设第一粒珠子打入接收器内刚与接收器相对静止时，接收器速度的大小为v1，
根据动量守恒定律  mv=（M+m）v1①
弹簧的最大弹性势能Epm=（M+m） ②
设接收器运动中弹簧弹性势能等于最大值一半时，接收器的速度为vx ，
由机械能守恒定律  ③
联立①②③，解得
（2）第1粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度
设第2粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v2，
同理  mv-（M+m）v1=（M+2m）v2，解得 v2=0     
设第3粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v3，
同理 mv=（M+3m）v3，解得      
设第4粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v4，
同理 mv-（M+3m）v3=（M+4m）v4，解得v4=0
可见，当第奇数个珠子打入接收器相对静止时，接收器的速度
  其中n=1，3，5          
当第偶数个珠子打入接收器相对静止时，接收器的速度 v偶=0     
（3）若接收器往复运动过程中不碰到发射器，则接收器最大位移x≤s 
根据能量守恒定律        
代入数据解得n≥6           
要使接收器在停止射击后能往复运动，则发射的珠子数n必为奇数，所以至少应发射7粒珠子后停止发射，使接收器沿直线往复运动而不碰到发射器．