Question

如图所示，AB和CD是两根特制的、完全相同的电阻丝导轨，固定在绝缘的竖直墙壁上，上端用电阻不计的导线相连接，两电阻丝导轨相距为L，一根质量为m、电阻不计的金属棒跨接在AC间，并处于x轴原点，与电阻丝导轨接触良好，且无摩擦，空间有垂直墙面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．放开金属棒，它将加速下滑．
（1）试证明，若棒下滑时作匀加速运动，则必须满足的条件是每根导轨的电阻值应跟位移x的平方根成正比，即（k为比例常量）
（2）若棒作匀加速运动，B=1T，L=1m，kg，Ω•m^-1/2，求：
①棒的加速度a，
②棒下落1m过程中，通过棒的电荷量q，
③棒下落1m过程中，电阻上产生的总热量Q．

Answer

（1）由牛顿第二定律与运动学公式，以及法拉第电磁感应定律来相结合，从而证明可得；
（2）根据上题的证明结论，并结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律与电量的表达式，最后通过能量守恒定律，从而能一一解决问题．
【解析】
（1）设棒以加速度a下落位移x时速度为v，此时棒中的电流为I，每根电阻丝的电阻为R，
由牛顿第二定律得：mg-BIL=ma
由运动学公式得：
由法拉第电磁感应定律及欧姆定律得：
由上式解得：
可见，为比例常量．
即：
（2）①由式整后理代入数据，
求得：a=5m/s2
②由法拉第电磁感应定律得
由欧姆定律得
流过棒的电荷量为q=I△t
解得：=
③由能量的转化和守恒定律得 
又
解得：Q=mgx-max=
答：（2）①棒的加速度5m/s2，
②棒下落1m过程中，通过棒的电荷量，
③棒下落1m过程中，电阻上产生的总热量．