Question

如图所示，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°．
（1）求小球A与小球B的质量比m_A：m_B；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．

Answer

（1）先对mB球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再对mA球受力分析，根据共点力平衡条件列式求解．
（2）（3）A球在碗底时，vA不等于vB，应将vA沿绳和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度即等于你B球的速度vB的大小．再根据机械能守恒定律列式解决．
【解析】
（1）设绳的张力为T．对A球进行受力分析，有
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
对B球进行受力分析，有T=mBg
可解得：
（2）A球的重力势能改变量为△EpA=-mAgR=-2mgR
B两球的重力势能改变量为
所以A、B两球总的重力势能改变量为
负号表示两球的重力势能减少．
（3）当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为vA、vB，则vAcos45°=vB（1）
根据A、B两球总机械能守恒，有△EK+△Ep=0（2）
即（3）
联立以上三式，解得：（或或）
答：（1）小球A与小球B的质量比；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，两球总的重力势能减小量是；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小是．