Question

如图1，在xoy 平面内有垂直纸面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，其中0＜x＜a区域内磁场方向垂直xoy 平面向里，a＜x区域内磁场方向垂直xoy 平面向外，x＜0区域内无磁场．一个带正电q、质量为m 的粒子（粒子重力不计）在坐标原点处，以某一初速度沿x轴正方向射入磁场．

（1）求要使粒子能进入第二个磁场，初速度要满足的条件；
（2）粒子初速度改为v₁，要使粒子经过两个磁场后沿x轴负方向经过O点，求图中磁场分界线（图中虚线）的横坐标值为多少？要在图2中画出轨迹图．
（3）在第二问的情况下，要使带电粒子第二次回到O点，且回到O点时的速度方向沿x轴正方向，请在x＜0内设计符合要求的磁场，在图2上标明磁场的方向、磁感应强度的大小和边界的坐标？
（4）若粒子在第一个磁场中作圆周运动的轨迹半径为R=，求粒子在磁场中的轨迹与x 轴的交点坐标．

Answer

（1）质子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律与R＞a，即可求解；
（2）根据对称性，结合洛伦兹力方向，及运动与力的关系，即可求解；
（3）质子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，得出半径公式，再由几何关系，可得出圆方程，从而求出交点的坐标．
【解析】
（1）质子在磁场中受到洛伦兹力做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律则有：，
进入第二个磁场的条件：R＞a 
初速度满足：
（2）有对称性分析，右边的圆弧的圆心一定在X轴上，正确画出轨迹图，
且三段圆弧的圆心正好构成一个正三角形，
所以θ=60° a
点的坐标变为X=
（3）如图所示，
（4）质子在磁场中受到洛伦兹力做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律，有：，
得质子做匀速圆周运动的半径为：，
带电粒子在两个磁场中的半径都为，
则有，
得到θ=45°，
圆心C的坐标为XC=2Rsinθ=2a
，所以圆方程为，
将y=0代入得，X=2（1）a，所以交点坐标为
答：（1）求要使粒子能进入第二个磁场，初速度要满足的条件是：；
（2）粒子初速度改为v1，要使粒子经过两个磁场后沿x轴负方向经过O点，则图中磁场分界线（图中虚线）的横坐标值为；要在图2中画出轨迹图．
（3）如图所示，
（4）若粒子在第一个磁场中作圆周运动的轨迹半径为R=，求粒子在磁场中的轨迹与x 轴的交点坐标为．