Question

如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为-q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间．
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间．
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．

Answer

带电粒子在磁场中只受洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动．根据题意作出粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析答题．
【解析】
（1）设粒子运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：qvB=m，
T=，解得T=，
微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间：
t=T=；
（2）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4，．．）
设每等份圆弧所对圆心角为2θ，
由几何知识可得θ=，tanθ=，
由牛顿第二定律得：qvB=m，
解得：v=tan（n=2、3、4、…），
当n为偶数时，由对称性可得t==（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时．t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，
即t=T+T=（n=3、5、7…），

（3）设x为O到粒子运动轨迹的圆心的距离，
由几何知识得：r=Rtan，x=，
要不超出边界须有：+Rtan＜2R，
解得：2cos＞1+sin，
当n=2时不成立，如图（b）所示

比较当n=3、n=4时的运动半径，可知：当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan=R=，可得：v=；

答：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间为；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为v=tan（n=2、3、4、…），
运动时间为当n为偶数时，t==（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时，即t=T+T=（n=3、5、7…）．
（3）其速度的最大值为．