Question

如图（a）所示，竖直轻弹簧下端与放在水平地面上的物块A相连．上端与物块B相连．物块C在B的正上方某处自由落下，与B碰撞后粘合在一起．在物块C正上方放置一个速度传感器，以测量C下落的速度v_C；在物块A的正下方放置一个压力传感器，以测量物块A对地面的压力N，得到如图（b）所示v-t和N-t图线，图中纵坐标轴上的P、v₁、v₂为已知量．已知弹簧的劲度系数为k，A、B、C三个物块的质量相等且都可视为质点，重力加速度为g，求：
（1）每个物块的质量．
（2）从t₁到t₂，BC粘合体对弹簧做的功多大？
（3）为使BC粘合体向上反弹到最大高度时，物块A对地面的压力恰好为零，则C物开始下落时与B物块的距离应多大？

Answer

（1）由图（b）可知，在C未与B碰撞前，A对地面的压力为P，对A、B整体平衡即可求得每个物块的质量．
（2）t1到t2的过程中，根据胡克定律求得B、C下移的距离．物块B、C碰撞后黏合在一起的过程，由动量守恒求出碰后共同速度，根据动能定理对BC进行研究，可求得BC粘合体对弹簧做的功．
（3）物块A对地的压力恰好为零时，弹簧的弹力等于A的重力，可求得此时弹簧的伸长量，得到物块B、C与它们刚碰撞时的高度差．对于B、C和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律和动量守恒可求得C物开始下落时与B物块的距离．
【解析】
（1）设mA=mB=mC=m，由图象可知，在C未与B碰撞前，A对地面的压力为P，则有：
       P=（mA+mB）g=2mg   ①
得：m=  ②
（2）由图象可知：在t2时刻，B、C的速度达到最大为v2，此时B、C所受合力为零，故t1到t2的过程中，B、C下移的距离为：
  x1==  ③
由图可知C与B碰前的速度为v1，设物块B、C碰撞后黏合在一起的速度为v，由动量守恒定律得：mv1=2mv  ④
则t1到t2的时间内，物块B、C对弹簧做的功为W，对B、C由动能定理得：
  2mgx1-W=-  ⑤
可解得：W=+    ⑥
（3）由于B与C碰前，弹簧已压缩x2==，当物块A对地的压力恰好为零时，弹簧的伸长量：x3===x2，物块A对地的压力恰好为零时，物块B、C与它们刚碰撞时的高度差为：
   x3+x2=2x2=2=  ⑦
物块B、C第一次刚以相同的速度v′向下运动时，弹簧的弹性势能与物块A对地面压力为零时弹簧的弹性势能相等，对于B、C和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：
-2mg（2x2）=0-   ⑧
设物块C开始下落时与B物块间的距离为H，C与B碰撞前的瞬时速度为v1′，B与C碰后黏合在一起的速度为v′，有：
 mgH=  ⑩
 mv1′=2mv′（11）
联立⑦⑧⑨⑩解得：H=
答：
（1）每个物块的质量为．
（2）从t1到t2，BC粘合体对弹簧做的功为+．
（3）为使BC粘合体向上反弹到最大高度时，物块A对地面的压力恰好为零，C物开始下落时与B物块的距离应为．