Question

如图所示，竖直平面内有无限长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r=0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰作匀速运动．求：
（1）金属杆2的质量m为多大？
（2）若金属杆2从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开始匀速运动．在此过程中整个回路产生了1.4J的电热，则此过程中流过电阻R的电量q为多少？
（3）金属杆2仍然从离开磁场边界h₁=0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时由静止释放金属杆1，两金属杆运动了一段时间后均达到稳定状态，试求两根金属杆各自的最大速度．（已知两个电动势分别为E₁、E₂不同的电源串联时，电路中总的电动势E=E₁+E₂．）

Answer

（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，E=BLv，I=、F=BIL，及平衡条件可求得m．
（2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h2，由==，=，q=求出电量q．
（3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．根据平衡条件得到两杆速度之和．由于两个金属杆任何时刻受力情况相同，任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，根据速度增量相同，得到速度的关系，联立求解两杆的最大速度．
【解析】
（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，则有
    v=
金属杆2进入磁场后匀速运动，则有 mg=BIL
且 E=BLv，I=
解得，m==0.2kg
（2）金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中，能量守恒（设金属杆2在磁场内下降h2），则有
   mg（h1+h2）=+Q
解得，h2==1.3m
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，==，=，q=
解得 电量q==0.65C
 （3）金属2杆刚进入磁场时的速度为v′==2m/s
释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．
  mg=BIL，且I=，E1=BLv1，E2=BLv2
整理得
代入数据得  v1+v2=4m/s
因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，故任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，即 v1-0=v2-v′
代入数据得 v2=v1+2
联立解得，v1=1m/s，v2=3m/s
答：（1）金属杆2的质量m为0.2kg．
（2）流过电阻R的电量q为0.65C．
（3）两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s．