Question

水平方向存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的高度为2L，一不可伸长的轻绳一端系在正方形单匝线圈ab边的中点，另一端跨过定滑轮与重物相连，已知线圈的质量为m、边长为L，总电阻为R；重物的质量是线圈的2倍，开始时线圈ab 边离磁场下边界距离为2L，现由静止开始同时释放重物与线圈，整个过程中重物未落地，重力加速度为g，不计滑轮的质量、空气阻力及摩擦．
（1）求ab边进入磁场的瞬间，绳上的张力T；
（2）已知线圈向上运动进出磁场的两个边界的过程中运动情况完全相同，求线圈穿过磁场的整个过程中产生的焦耳热．

Answer

（1）从如图所示的位置由静止释放重物，线框上升的过程中，系统的机械能守恒，即可由机械能守恒定律求出线框到达磁场边界时速度大小．由E=BL1v、I=、F=BIL，求出线框进入磁场时的安培力F，再根据牛顿第二定律对重物和线框分别列式，即可求得绳上的张力T；
（2）由题，线圈向上运动进出磁场的两个边界的过程中运动情况完全相同，线框穿出磁场上边界时的速度等于刚进入磁场时的速度，对整个穿过磁场的过程，根据能量守恒求解线圈穿过磁场的整个过程中产生的焦耳热．
【解析】
（1）设线圈ab边刚好进入磁场时，速度为v1，加速度为a，对两个物体组成的系统，根据机械能守恒得：
      2mg•2L-mg•2L=   ①
ab边上的感应电动势为：E=BL1v  ②
线圈中的感应电流为：I=     ③
ab边所受的安培力为：F=BIL    ④
设绳上的拉力为T，选加速度作为正方向，对重物与线圈分别利用牛顿第二定律可得：
    T-2mg=2ma            ⑤
    F+mg-T=ma            ⑥
联立以上几式可得：T=+
（2）设线圈的cd边刚好进入磁场时速度为v2，由于线圈向上运动进出磁场的两个边界过程的运动情况完全一样，故线圈ab边到达磁场上边界时的速度必定是v1，线圈cd边刚好出磁场时速度为v2．整个线圈在磁场中时，由机械能守恒有：
   2mgL-mgL=-   ⑦
对整个过程中，由能量守恒有：
   Q=（2mg•3L-mg•3L）+-   ⑧
故焦耳热为：Q=4mgL                          ⑨
答：
（1）ab边进入磁场的瞬间，绳上的张力T为+；
（2）线圈穿过磁场的整个过程中产生的焦耳热是4mgL．