Question

图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R₁=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．计算结果保留小数点后一位数字．试求

（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L₁应是多少；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围；
（3）小球最终停留点与起点A的距离．

Answer

（1）小球恰能通过第一圆形轨道时，在轨道的最高点时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出小球经过最高点时的速度．对于小球从A点到第一圆形轨道最高点过程，运用动能定理列式，求解AB间距L1．
（2）要保证小球不脱离轨道，有两种情况：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，与上题相似，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，根据动能定理求解半径R2．
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度等于R2，即上升到与圆心等高处，根据动能定理求解半径R2．
为保证圆形轨道间不相互重叠，根据几何知识知：R2最大值应满足=L2+，解得R2．即可得到半径R2的可变范围；
（3）根据动能定理求解小球最终停留点与起始点A的距离．
【解析】
（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1==m/s
根据动能定理得
-μmgL1-2mgR1=mv12-mv2
解得 L1=18.5m                      
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v2，应满足
      mg=m
-μmg（L1+L）-2mgR2=mv22-mv2
由上两式解得：R2=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R2，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L1+L）-mgR2=0-mv2
解得：R2=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R2最大值应满足：=L2+，
解得 R2=27.9m                        
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
  0＜R2≤0.4m 或   1.0m≤R2≤27.9m                               
（3）当0＜R2≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-mv2                  
解得 L′=36.0m                              
当1.0m≤R2≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
   L″=L′-2（L′-L1-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是18.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围为 0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m；
（3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．